Сумма коэффициентов в уравнении - это важная характеристика, которая помогает анализировать алгебраические выражения и находить их корни. Рассмотрим, как определить эту сумму для различных типов уравнений.
Содержание
Сумма коэффициентов в многочлене
Для любого многочлена P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 сумма коэффициентов равна значению этого многочлена при x = 1:
- P(1) = an + an-1 + ... + a1 + a0
- Это свойство верно для многочленов любой степени
Пример расчета
| Многочлен | Сумма коэффициентов |
| 2x3 - 5x2 + 3x - 1 | 2 - 5 + 3 - 1 = -1 |
| 4x4 + 2x2 - x + 7 | 4 + 0 + 2 - 1 + 7 = 12 |
Применение в квадратных уравнениях
Для квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 сумма коэффициентов a + b + c связана с его корнями:
- Если a + b + c = 0, то x1 = 1 - всегда корень уравнения
- Второй корень в этом случае равен x2 = c/a
Пример
Уравнение: 3x2 - 7x + 4 = 0
- Сумма коэффициентов: 3 - 7 + 4 = 0
- Корни: x1 = 1, x2 = 4/3
Сумма коэффициентов в разложении
При разложении выражений по формулам сумма коэффициентов также имеет значение:
| Тип разложения | Сумма коэффициентов |
| (a + b)n | 2n |
| (a - b)n | 0 (при нечетных n) |
Бином Ньютона
Для бинома (x + y)n сумма биномиальных коэффициентов Cnk равна 2n:
- Σ Cnk = 2n (k от 0 до n)
- Это следует из подстановки x = y = 1
Практическое значение
Знание суммы коэффициентов помогает:
- Быстро проверять правильность составления уравнений
- Находить один из корней уравнений
- Контролировать вычисления при разложении многочленов
- Решать комбинаторные задачи
Это свойство особенно полезно при работе с характеристическими многочленами в линейной алгебре и при решении дифференциальных уравнений.
